כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\:\)גופןmathcal: בסיסים, קבוצת חזקה, העתקות גלואה, המילטוניאן ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKcla}{\mathcal{A}}\)
\(\newcommand{\MKclb}{\mathcal{B}}\)
\(\newcommand{\MKclc}{\mathcal{C}}\)
\(\newcommand{\MKcld}{\mathcal{D}}\)
\(\newcommand{\MKcle}{\mathcal{E}}\)
\(\newcommand{\MKclf}{\mathcal{F}}\)
\(\newcommand{\MKclg}{\mathcal{G}}\)
\(\newcommand{\MKclh}{\mathcal{H}}\)
\(\newcommand{\MKcli}{\mathcal{I}}\)
\(\newcommand{\MKclj}{J}\)
\(\newcommand{\MKclk}{\mathcal{K}}\)
\(\newcommand{\MKcll}{\mathcal{L}}\)
\(\newcommand{\MKclm}{\mathcal{M}}\)
\(\newcommand{\MKcln}{\mathcal{N}}\)
\(\newcommand{\MKclo}{\mathcal{O}}\)
\(\newcommand{\MKclp}{\mathcal{P}}\)
\(\newcommand{\MKclq}{\mathcal{Q}}\)
\(\newcommand{\MKclr}{\mathcal{R}}\)
\(\newcommand{\MKcls}{\mathcal{S}}\)
\(\newcommand{\MKclt}{\mathcal{T}}\)
\(\newcommand{\MKclu}{\mathcal{U}}\)
\(\newcommand{\MKclv}{\mathcal{V}}\)
\(\newcommand{\MKclw}{\mathcal{W}}\)
\(\newcommand{\MKclx}{\mathcal{X}}\)
\(\newcommand{\MKcly}{\mathcal{Y}}\)
\(\newcommand{\MKclz}{\mathcal{Z}}\)
\(\:\)גופןmathscr: ?\(\:\)
\(\newcommand{\MKsrb}{\mathscr{B}}\)
\(\newcommand{\MKsrf}{\mathscr{F}}\)
\(\:\)גופןmathfrak: אותיות גותיות לעוצמות\(\:\)
\(\newcommand{\MKfka}{\mathfrak{a}}\)
\(\newcommand{\MKfkb}{\mathfrak{b}}\)
\(\newcommand{\MKfkc}{\mathfrak{c}}\)
\(\:\)כתיבת סדרות במהירותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKseq}[3]{#1_{1}#2#1_{2}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKseqz}[3]{#1_{0}#2#1_{1}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseq}[5]{#1_{1}#2#3_{1}#4#1_{2}#2#3_{2}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseqz}[5]{#1_{0}#2#3_{0}#4#1_{1}#2#3_{1}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\fbox{\thepage}\leftmark
קירובים דיופנטיים\fbox{\thepage}
1 התחלה
1.1 הגדרות
\(\clubsuit\)
"בתורת המספרים, קירוב דיופנטי של מספר ממשי נתון הוא מספר רציונלי קרוב אל המספר המבוקש. האנליזה הדיופנטית עוסקת, בין השאר, בקיומם של קירובים דיופנטיים, בטיב הקירוב האפשרי, ובהכללות של הבעיה היסודית. התחום נקרא על שמו של דיופנטוס שהציג בעיות שהפתרונות שלהן דווקא במספרים שלמים." (ציטוט מהערך "קירוב דיופנטי" בוויקיפדיה העברית)
\(\clubsuit\)
יש המחליפים את \(\MKinteger\left[x\right]\) ב-\(\MKrational\left[x\right]\) אך זה שקול מפני שניתן להכפיל במכנה המשותף של כל המקדמים ולקבל פולינום מתאים ב-\(\MKinteger\left[x\right]\).
\(\clubsuit\)
קבוצת המספרים האלגבריים היא בת-מנייה שכן \(\MKinteger\left[x\right]\) בת-מנייה, ולכן העוצמה של קבוצת המספרים הטרנסצנדנטיים היא עוצמת הרצף, כלומר במונחים של עוצמה ישנם הרבה יותר מספרים טרנסצנדנטיים מאשר מספרים אלגבריים.
\(\clubsuit\)
קשה מאד להוכיח שמספרים כמו \(e\) ו-\(\pi\) הם אכן טרנסצנדנטיים, לעומתם נראה בהמשך דרך לבנות מספרים טרנסצנדנטיים שאינם מועילים במיוחד (בטח בהשוואה ל-\(e\) ו-\(\pi\)).
\(\clubsuit\)
"בתורת המספרים, קירוב דיופנטי של מספר ממשי נתון הוא מספר רציונלי קרוב אל המספר המבוקש. האנליזה הדיופנטית עוסקת, בין השאר, בקיומם של קירובים דיופנטיים, בטיב הקירוב האפשרי, ובהכללות של הבעיה היסודית. התחום נקרא על שמו של דיופנטוס שהציג בעיות שהפתרונות שלהן דווקא במספרים שלמים." (ציטוט מהערך "קירוב דיופנטי" בוויקיפדיה העברית)
\(\clubsuit\)
כלומר קיימת סדרת קירובים טובה כל כך שהיא מקרבת עד כדי ההופכי של ריבוע המכנה ולא רק עד כדי מחצית מההופכי של המכנה.
\(\clubsuit\)
כמובן ש-\(\left(p_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) תהיה סדרת חיוביים אם \(x\) חיובי וסדרת שליליים אם \(x\) שלילי.
\(\clubsuit\)
משפט ליוביל הוא משפט חלש למדי במובן שהוא מאפשר קירובים שבהם החזקה במכנה קטנה מ-\(d\) אבל גדולה מ-\(2\), המשפט הבא מראה שגם זה לא אפשרי:
יהי \(\alpha\in\MKreal\) מספר אלגברי מדרגה \(1<d\in\MKnatural\), לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיים קבוע \(0<c\in\MKreal\) כך שלכל \(\frac{p}{q}\in\MKrational\) יתקיים:\[
\left|x-\frac{p}{q}\right|>\frac{c}{q^{2+\varepsilon}}
\]
\(\clubsuit\)
הדוגמה הקלאסית היא קבוע ליוביל המוגדר ע"י (כאן \(s=10\) ו-\(\left(n_{k}\right)_{k=1}^{\infty}=\left(k!\right)_{n=1}^{\infty}\):\[
c:=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{10^{k!}}
\]
הגדרה 1.1. מספר \(z\in\MKcomplex\) יקרא מספר אלגברי אם קיים פולינום \(P\in\MKinteger\left[x\right]\) כך ש-\(z\) הוא שורש של \(P\), אחרת יקרא מספר טרנסצנדנטי (או טרנסצנדנטלי).
הגדרה 1.2. יהי \(\alpha\in\MKcomplex\) מספר אלגברי, הדרגה הקטנה ביותר של פולינום ב-\(\MKinteger\left[x\right]\) ש-\(\alpha\) הוא שורש שלו (\(\min\left\{ \deg P\mid P\in\MKinteger\left[x\right],\ P\left(\alpha\right)=0\right\} \)) תקרא הדרגה של \(\alpha\) ואז נאמר ש-\(\alpha\) הוא מספר אלגברי מדרגה/מעלה זו.
\(\:\)
משפט 1.3. לכל \(x\in\MKreal\) קיימות סדרת טבעיים עולה ממש \(\left(q_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) וסדרת שלמים \(\left(p_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) כך שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\left|x-\frac{p_{n}}{q_{n}}\right|<\frac{1}{\left(q_{n}\right)^{2}}
\]
הוכחה. יהי \(x\in\MKreal\), אם \(x\in\MKrational\) אז קיימים \(a\in\MKinteger\) ו-\(b\in\MKnatural\) כך ש-\(x=\frac{a}{b}\) ואותם \(a\) ו-\(b\) יקיימו שהסדרות \(\left(n\cdot a\right)_{n=1}^{\infty}\) ו-\(\left(n\cdot b\right)_{n=1}^{\infty}\) הן סדרות מתאימות, א"כ נניח ש-\(x\notin\MKrational\). יהי \(Q\in\MKnatural\) ונסמן \(\alpha_{n}:=\left\lfloor nx\right\rfloor \) ו-\(\beta_{n}:=nx-\left\lfloor nx\right\rfloor \) לכל \(Q\geq n\in\MKnatural\), מהגדרה מתקיים \(\beta_{n}\in\left(0,1\right)\) לכל \(Q\geq n\in\MKnatural\) ולכן מעקרון שובך היונים נובע שקיימים \(Q\geq i,j\in\MKnatural\) כך ש-\(i\neq j\) ומתקיים:\[
0\leq\beta_{i}-\beta_{j}\leq\frac{1}{Q}
\]יהיו \(i\) ו-\(j\) כנ"ל ונבחין כי:\[
\left(i-j\right)\cdot x=\left(\alpha_{i}+\beta_{i}\right)-\left(\alpha_{j}+\beta_{j}\right)=\left(\alpha_{i}-\alpha_{j}\right)+\left(\beta_{i}-\beta_{j}\right)
\]\[\begin{align*}
& \Rightarrow\left|\left(i-j\right)\cdot x-\left(\alpha_{i}-\alpha_{j}\right)\right|=\beta_{i}-\beta_{j}\leq\frac{1}{Q}\\
& \Rightarrow\left|x-\frac{\alpha_{i}-\alpha_{j}}{i-j}\right|\leq\frac{\beta_{i}-\beta_{j}}{\left|i-j\right|}\leq\frac{1}{Q\cdot\left|i-j\right|}<\frac{1}{\left(i-j\right)^{2}}
\end{align*}\]נסמן \(p:=\alpha_{i}-\alpha_{j}\) ו-\(q:=\left|i-j\right|\), א"כ מתקיים:\[
\left|x-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^{2}},\ \left|x-\frac{p}{q}\right|\leq\frac{1}{q\cdot Q}<\frac{1}{Q}
\]נסמן:\[
\varepsilon:=\min\left\{ \left|x-\frac{m}{n}\right|:m\in\MKinteger,\ Q\geq n\in\MKnatural\right\}
\]כלומר \(\varepsilon\) הוא המרחק בין \(x\) לקירוב הטוב ביותר שלו שהמכנה שלו קטן או שווה ל-\(Q\). יהי \(Q'\in\MKnatural\) כך ש-\(\frac{1}{Q'}<\varepsilon\), \(Q\) הנ"ל היה שרירותי ולכן קיימים \(p'\in\MKinteger\) ו-\(q'\in\MKnatural\) כך שמתקיים:\[
\left|x-\frac{p'}{q'}\right|<\frac{1}{q'^{2}},\ \left|x-\frac{p'}{q'}\right|\leq\frac{1}{q'\cdot Q'}<\frac{1}{Q'}<\varepsilon
\]כלומר \(\frac{p'}{q'}\) הוא קירוב טוב יותר מכל קירוב שהמכנה שלו קטן או שווה ל-\(Q\) ומכאן שבהכרח \(q<Q<q'\), מכאן שאכן ניתן לבנות סדרה עולה ממש של טבעיים \(\left(q_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) וסדרת שלמים מתאימה \(\left(p_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) כך שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\left|x-\frac{p_{n}}{q_{n}}\right|<\frac{1}{\left(q_{n}\right)^{2}}
\]
טענה 1.4. קבוצת המספרים האלגבריים היא שדה.
משפט 1.5. משפט ליוביל2ערך בוויקיפדיה: ז'וזף ליוביל. יהי \(\alpha\in\MKreal\) מספר אלגברי מדרגה \(1<d\in\MKnatural\)3שקול לכך ש-\(\alpha\notin\MKrational\)., קיים קבוע \(0<c\in\MKreal\) כך שלכל \(\frac{p}{q}\in\MKrational\) יתקיים:\[
\left|x-\frac{p}{q}\right|>\frac{c}{q^{d}}
\]
הוכחה. יהי \(f\in\MKinteger\left[x\right]\) פולינום כך ש-\(f\left(\alpha\right)=0\) וגם \(\deg f=d\), א"כ מהעובדה ש-\(f\) בעל מקדמים שלמים נובע שלכל \(\frac{p}{q}\in\MKrational\) מתקיים \(q^{d}\cdot f\left(\frac{p}{q}\right)\in\MKinteger\) ולכן לכל \(\frac{p}{q}\in\MKrational\) כך ש-\(f\left(\frac{p}{q}\right)\neq0\) מתקיים:\[
\left|q^{d}\cdot f\left(\frac{p}{q}\right)\right|\geq1
\]וממילא גם:\[
\left|f\left(\frac{p}{q}\right)\right|\geq\frac{1}{q^{d}}
\]נסמן ב-\(m\) את החזקה הגדולה ביותר של הפולינום \(x-\alpha\) המחלקת את \(f\left(x\right)\) (מהגדרה \(m\geq1\) מפני ש-\(\alpha\) הוא שורש של \(f\) ולכן \(x-\alpha\) מחלק את \(f\left(x\right)\)) ,ויהי \(g\in\MKreal\left[x\right]\) המנה של חלוקת \(f\left(x\right)\) ב-\(\left(x-\alpha\right)^{m}\), כלומר מתקיים (שוויון בין פולינומים ב-\(\MKreal\left[x\right]\)):\[
f\left(x\right)=\left(x-\alpha\right)^{m}\cdot g\left(x\right)
\]מהגדרה \(g\) אינו פולינום האפס4אחרת גם \(f\) היה פולינום האפס בסתירה לכך שדרגתו גדולה ממש מ-\(1\). ובנוסף, מהגדרת \(m\) נובע ש-\(\alpha\) אינו שורש של \(g\). תהא \(0<\delta\in\MKreal\) כך ש-\(\delta<1\) ולכל \(r\in B_{\delta}\left(\alpha\right)\) מתקיים5מהרציפות של \(\left|g\left(x\right)\right|\) נובע שאכן קיימת \(\delta\) כזו.:\[
0<\frac{1}{2}\cdot\left|g\left(\alpha\right)\right|\leq\left|g\left(x\right)\right|\leq2\cdot\left|g\left(\alpha\right)\right|
\]יהי \(\frac{u}{v}\in B_{\delta}\left(\alpha\right)\) מספר רציונלי, מהשורה הקודמת נובע שמתקיים \(g\left(\frac{u}{v}\right)\neq0\) ומכיוון שבהכרח \(\frac{u}{v}\neq\alpha\)6שהרי \(1<d\) ולכן \(\alpha\) אינו רציונלי. נדע שגם \(\left(\frac{u}{v}-\alpha\right)^{m}\neq0\) וממילא:\[
f\left(\frac{u}{v}\right)=\left(\frac{u}{v}-\alpha\right)^{m}\cdot g\left(\frac{u}{v}\right)\neq0
\]כפי שראינו בתחילת ההוכחה נובע מזה שמתקיים:\[
\frac{1}{v^{d}}\leq\left|f\left(\frac{u}{v}\right)\right|=\left|\left(\frac{u}{v}-\alpha\right)^{m}\cdot g\left(\frac{u}{v}\right)\right|=\left|\frac{u}{v}-\alpha\right|^{m}\cdot\left|g\left(\frac{u}{v}\right)\right|
\]ומהגדרת \(\delta\) נקבל שמתקיים גם:\[
\frac{1}{v^{d}}\cdot\frac{1}{2\cdot\left|g\left(\alpha\right)\right|}\leq\frac{1}{v^{d}}\cdot\frac{1}{\left|g\left(\frac{u}{v}\right)\right|}\leq\left|\frac{u}{v}-\alpha\right|^{m}
\]בנוסף, הגדרנו את \(\delta\) כך ש-\(\delta<1\) ולכן מתקיים:\[
\left|\frac{u}{v}-\alpha\right|^{m}<\left|\frac{u}{v}-\alpha\right|=\left|\alpha-\frac{u}{v}\right|
\]\[
\Rightarrow\left|\alpha-\frac{u}{v}\right|>\frac{1}{v^{d}}\cdot\frac{1}{2\cdot\left|g\left(\alpha\right)\right|}
\]א"כ נגדיר \(c_{1}:=\frac{1}{2\cdot\left|g\left(\alpha\right)\right|}\) ומכיוון ש-\(\frac{u}{v}\) היה שרירותי הרי שלכל מספר רציונלי \(\frac{p}{q}\in B_{\delta}\left(\alpha\right)\) יתקיים:\[
\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|>\frac{c_{1}}{q^{d}}
\]נעבור להוכיח את המשפט עבור רציונליים ב-\(\MKrational\setminus B_{\delta}\left(\alpha\right)\). הקבוצה \(B:=\left\{ n\in\MKnatural\mid\frac{1}{n^{d}}>\delta\right\} \) היא קבוצה סופית ולכן קיים \(0<c_{2}\in\MKreal\) כך שלכל \(b\in B\) ולכל \(a\in\MKinteger\) מתקיים:\[
\left|\alpha-\frac{a}{b}\right|>\frac{c_{2}}{b^{d}}
\]יהי \(c_{2}\) כנ"ל ומכאן שלכל \(\frac{a}{b}\in\MKrational\setminus B_{\delta}\left(\alpha\right)\): אם \(b\in B\) אז \(c_{2}\) מקיים את הרצוי ואם \(b\notin B\) אז קיים מספר רציונלי \(\frac{s}{t}\in B_{\delta}\left(\alpha\right)\) כך ש-\(t=b\) ואז ממה שהוכחנו לעיל נובע שמתקיים:\[
\left|\alpha-\frac{a}{b}\right|>\left|\alpha-\frac{s}{t}\right|>\frac{c_{1}}{t^{d}}=\frac{c_{1}}{b^{d}}
\]ולכן \(c_{2}\) מקיים את הרצוי. נגדיר \(c:=\min\left\{ c_{1},c_{2}\right\} >0\) ומכאן שלכל \(\frac{p}{q}\in\MKrational\) מתקיים:\[
\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|>\frac{c}{q^{d}}
\]
למה 1.6. יהי \(x\in\MKreal\), אם קיימים \(0<a\in\MKreal\), סדרת טבעיים עולה ממש \(\left(q_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) וסדרת שלמים \(\left(p_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) המקיימים שלכל \(e\in\MKnatural\) קיים \(n\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\left|x-\frac{p_{n}}{q_{n}}\right|<\frac{a}{\left(q_{n}\right)^{e}}
\]אז \(x\) טרנסצנדנטי.
הוכחה. נניח שקיימים \(0<a\in\MKreal\), סדרת טבעיים עולה ממש \(\left(q_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) וסדרת שלמים \(\left(p_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) המקיימים שלכל \(e\in\MKnatural\) קיים \(n\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\left|x-\frac{p_{n}}{q_{n}}\right|<\frac{a}{\left(q_{n}\right)^{e}}
\]ויהיו \(a,\left(q_{n}\right)_{n=1}^{\infty},\left(p_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) כנ"ל. כעת נניח בשלילה ש-\(x\) אלגברי ונסמן ב-\(d\) את דרגתו. יהי \(0<c\in\MKreal\). יהי \(m\in\MKnatural\) כך ש-\(\frac{a}{2^{m}}<c\) ויהי \(n\in\MKnatural\) כך שמתקיים:\[
\left|x-\frac{p_{n}}{q_{n}}\right|<\frac{a}{\left(q_{n}\right)^{m+d}}
\]\[
\Rightarrow\left|x-\frac{p_{n}}{q_{n}}\right|<\frac{a}{\left(q_{n}\right)^{m+d}}=\frac{a}{\left(q_{n}\right)^{m}\cdot\left(q_{n}\right)^{d}}\leq\frac{a}{2^{m}\cdot\left(q_{n}\right)^{d}}<\frac{c}{\left(q_{n}\right)^{d}}
\]\(c\) הנ"ל היה שרירותי ולכן הנ"ל נכון לכל \(0<c\in\MKreal\) וזאת בסתירה למשפט ליוביל. מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה ו-\(x\) אינו אלגברי, כלומר \(x\) טרנסצנדנטי.
למה 1.7. יהי \(1<s\in\MKreal\) ותהא \(\left(n_{k}\right)_{k=1}^{\infty}\) סדרת טבעיים עולה ממש, לכל \(m\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\sum_{k=m}^{\infty}\frac{1}{s^{n_{k}}}\leq\frac{1}{s^{n_{m}}}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{s}}=\frac{1}{s^{n_{m}}}\cdot\frac{s}{s-1}=\frac{1}{s^{n_{m}-1}}\cdot\frac{1}{s-1}
\]
טענה 1.8. יהי \(1<s\in\MKnatural\) ותהא \(\left(n_{k}\right)_{k=1}^{\infty}\) סדרת טבעיים עולה ממש המקיימת:\[
\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{n_{k+1}}{n_{k}}=\infty
\]ונסמן:\[
\alpha:=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{s^{n_{k}}}
\]\(\alpha\) הוא מספר טרנסצנדנטי.
הוכחה. תהיינה \(\left(p_{m}\right)_{m=1}^{\infty}\)ו-\(\left(q_{m}\right)_{m=1}^{\infty}\) שתי סדרות המוגדרות ע"י )לכל \(m\in\MKnatural\)(:\[
p_{m}=\sum_{k=1}^{m}s^{n_{m}-n_{k}},\ q_{m}=s^{n_{m}}
\]נשים לב ש-\(\left(p_{m}\right)_{m=1}^{\infty}\) היא אכן סדרת טבעיים משום שלכל \(n\geq k\in\MKnatural\) מתקיים \(n_{m}\geq n_{k}\) וודאי ש-\(\left(q_{m}\right)_{m=1}^{\infty}\) גם היא סדרת טבעיים. נשים לב לכך שלכל \(m\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\frac{p_{m}}{q_{m}}=\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{s^{n_{k}}}
\]ומכאן שע"פ למה 1.5 לכל \(m\in\MKnatural\) מתקיים:\[\begin{align*}
\left|\alpha-\frac{p_{m}}{q_{m}}\right| & =\left|\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{s^{n_{k}}}-\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{s^{n_{k}}}\right|=\sum_{k=m+1}^{\infty}\frac{1}{s^{n_{k}}}\\
& \leq\frac{1}{s^{n_{m+1}}}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{s}}
\end{align*}\]
יהי \(e\in\MKnatural\) ויהי \(m\in\MKnatural\) כך ש-\(\frac{n_{m+1}}{n_{m}}>e\) )מהנתון \(\frac{n_{k+1}}{n_{k}}\xrightarrow[k\rightarrow\infty]{}\infty\) נובע שאכן קיים \(m\) כזה(, מכאן ש-\(n_{m+1}>n_{m}\cdot e\) ולכן גם \(s^{n_{m+1}}>s^{n_{m}\cdot e}\) וממילא:\[
\frac{1}{s^{n_{m+1}}}<\frac{1}{s^{n_{m}\cdot e}}=\frac{1}{\left(s^{n_{m}}\right)^{e}}
\]\[
\Rightarrow\left|\alpha-\frac{p_{m}}{q_{m}}\right|<\frac{1}{s^{n_{m+1}}}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{s}}<\frac{1}{\left(s^{n_{m}}\right)^{e}}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{s}}=\frac{1}{\left(q_{m}\right)^{e}}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{s}}
\]\(e\) הנ"ל היה שרירותי ולכן הנ"ל נכון לכל \(e\in\MKnatural\) ומכאן שע"פ למה 1.4\(\alpha\) טרנסצנדנטי.
\(\:\)
2 סדרות פרי )Farey(
2.1 הגדרות
הגדרה 2.1. סדרות פרי )Farey(7ערך בוויקיפדיה האנגלית: John Farey. לכל \(n\in\MKnatural\)סדרת פרי ה-\(n\)-ית )מסומנת ב-\(\MKclf_{n}\)( היא סדרה סופית שבה כל הרציונליים בקטע \(\left[0,1\right]\) שהמכנה שלהם )בהצגה מצומצמת( קטן או שווה ל-\(n\) כשהם מסודרים בסדר עולה; כלומר:\[\begin{align*}
\MKclf_{1} & :=\left(\frac{0}{1},\frac{1}{1}\right)\\
\MKclf_{2} & :=\left(\frac{0}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{1}\right)\\
\MKclf_{3} & :=\left(\frac{0}{1},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{1}{1}\right)\\
\MKclf_{4} & :=\left(\frac{0}{1},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{1}{1}\right)\\
\MKclf_{5} & :=\left(\frac{0}{1},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{1}{1}\right)\\
& \vdots
\end{align*}\]
למה 2.2. יהיו \(\frac{p}{q},\frac{p'}{q'}\in\MKrational\) שברים מצומצמים כך ש-\(0\leq\frac{p}{q}<\frac{p'}{q'}\leq1\), לכל \(r\in\MKrational\) המקיים \(\frac{p}{q}<r<\frac{p'}{q'}\) קיימים \(u,v\in\MKnatural\) יחידים כך ש-\(\gcd\left(u,v\right)=1\) ומתקיים:\[
r=\frac{v\cdot p+u\cdot p'}{v\cdot q+u\cdot q'}
\]
הוכחה. תהא \(f:\left(0,\infty\right)\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י )לכל \(t\in\left(0,\infty\right)\)(:\[
f\left(t\right)=\frac{p+t\cdot p'}{q+t\cdot q'}
\]מהגדרה מתקיים \(\MKim\left(f\right)=\left(\frac{p}{q},\frac{p'}{q'}\right)\). יהיו \(t_{1},t_{2}\in\left(0,\infty\right)\) כך ש-\(t_{1}<t_{2}\), מתקיים:\[
t_{2}\cdot\frac{p}{q}+t_{1}\cdot\frac{p'}{q'}<t_{1}\cdot\frac{p}{q}+t_{2}\cdot\frac{p'}{q'}
\]\[\begin{align*}
& \Rightarrow\frac{t_{2}\cdot p\cdot q'+t_{1}\cdot p'\cdot q}{q\cdot q'}<\frac{t_{1}\cdot p\cdot q'+t_{2}\cdot p'\cdot q}{q\cdot q'}\\
& \Rightarrow{\color{blue}t_{2}\cdot p\cdot q'+t_{1}\cdot p'\cdot q}<{\color{blue}t_{1}\cdot p\cdot q'+t_{2}\cdot p'\cdot q}
\end{align*}\]\[\begin{align*}
\Rightarrow{\color{red}p\cdot q}+{\color{blue}t_{2}\cdot p\cdot q'+t_{1}\cdot p'\cdot q}+{\color{red}t_{1}\cdot t_{2}\cdot p'\cdot q'} & <{\color{red}p\cdot q}+{\color{blue}t_{1}\cdot p\cdot q'+t_{2}\cdot p'\cdot q}+{\color{red}t_{1}\cdot t_{2}\cdot p'\cdot q'}\\
\Rightarrow\left(p+t_{1}\cdot p'\right)\left(q+t_{2}\cdot q'\right) & <\left(p+t_{2}\cdot p'\right)\left(q+t_{1}\cdot q'\right)\\
\Rightarrow f\left(t_{1}\right)=\frac{p+t_{1}\cdot p'}{q+t_{1}\cdot q'} & <\frac{p+t_{2}\cdot p'}{p+t_{2}\cdot p'}=f\left(t_{2}\right)
\end{align*}\]א"כ \(f\) היא פונקציה עולה ממש ולכן היא חח"ע. יתרה מזאת, לכל \(t\in\left(0,\infty\right)\) מתקיים:\[
\left(q+t\cdot q'\right)\cdot f\left(t\right)=p+t\cdot p'
\]ומכאן שגם:\[
q\cdot f\left(t\right)-p=t\cdot\left(p'-q'\cdot f\left(t\right)\right)
\]וממילא:\[
t=\frac{q\cdot f\left(t\right)-p}{p'-q'\cdot f\left(t\right)}
\]ולכן מתקיים \(f\left(t\right)\in\MKrational\) אם"ם \(t\in\MKrational\) ומכאן ש-\(f\) מהווה התאמה חח"ע ועל בין הרציונליים החיוביים לבין הרציונליים בקטע \(\left(\frac{p}{q},\frac{p'}{q'}\right)\). נבחין כי לכל \(u,v\in\MKnatural\) מתקיים:\[
f\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{p+\frac{u}{v}\cdot p'}{q+\frac{u}{v}\cdot q'}=\frac{v\cdot p+u\cdot p'}{v\cdot q+u\cdot q'}
\]ומכאן שלכל \(r\in\left(\frac{p}{q},\frac{p'}{q'}\right)\) רציונלי קיימים \(u,v\in\MKnatural\) יחידים8היחידות נובעת מיחידות ההצגה המצומצמת של מספר רציונלי. כך ש-\(\gcd\left(u,v\right)=1\) ומתקיים:\[
r=f\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\cdot p+u\cdot p'}{v\cdot q+u\cdot q'}
\]
למה 2.3. יהיו \(\frac{p}{q},\frac{p'}{q'}\in\MKrational\) שברים מצומצמים כך ש-\(0\leq\frac{p}{q}<\frac{p'}{q'}\leq1\), יהי \(r\in\MKrational\) המקיים \(\frac{p}{q}<r<\frac{p'}{q'}\) ויהיו \(u,v\in\MKnatural\) כך ש-\(\gcd\left(u,v\right)=1\) וגם:\[
r=\frac{v\cdot p+u\cdot p'}{v\cdot q+u\cdot q'}
\]
למה 2.4. אם \(p'\cdot q-q'\cdot p=1\) אז ההצגה הנ"ל היא ההצגה המצומצמת של \(r\).
הוכחה. נניח כי \({\color{red}p'\cdot q-q'\cdot p=1}\), א"כ מתקיים:\[\begin{align*}
p'\cdot\left(v\cdot q+u\cdot q'\right)-q'\cdot\left(v\cdot p+u\cdot p'\right) & =v\cdot\left({\color{red}p'\cdot q-q'\cdot p}\right)+u\cdot\left({\color{blue}p'\cdot q'-q'\cdot p'}\right)=v\\
-p\cdot\left(v\cdot q+u\cdot q'\right)+q\cdot\left(v\cdot p+u\cdot p'\right) & =v\cdot\left({\color{blue}-p\cdot q+q\cdot p}\right)+u\cdot\left({\color{red}-p\cdot q'+q\cdot p'}\right)=u
\end{align*}\]מכאן שכל מחלק משותף של \(v\cdot p+u\cdot p'\) ו-\(v\cdot q+u\cdot q'\) יחלק גם את \(u\) ו-\(v\) ולכן העובדה ש-\(\gcd\left(u,v\right)=1\) אומרת שההצגה הנ"ל היא ההצגה המצומצמת של \(r\).
טענה 2.5. יהיו \(\frac{p}{q},\frac{p'}{q'}\in\MKrational\) שברים מצומצמים כך ש-\(0\leq\frac{p}{q}<\frac{p'}{q'}\leq1\), אם \(p'\cdot q-q'\cdot p=1\) אז \(\frac{p}{q}\) ו-\(\frac{p'}{q'}\) הם איברים עוקבים ב-\(\MKclf_{n}\) לכל \(n\in\MKnatural\) המקיים \(\max\left\{ q,q'\right\} \leq n<q+q'\).
הוכחה. הוכחה1 - שימוש בלמות יהי \(r\in\left(\frac{p}{q},\frac{p'}{q'}\right)\) מספר רציונלי, משתי הלמות האחרונות נובע שהמכנה של \(r\) בהצגתו המצומצמת הוא צר"ל של \(q\) ו-\(q'\) שמקדמיו טבעיים9כלומר לכל קיימים \(a,b\in\MKnatural\) כך שההצגה המצומצמת של \(r\) היא:\[
\frac{a\cdot p+b\cdot p'}{a\cdot q+b\cdot q'}
\] ולכן אותו מכנה גדול או שווה ל-\(q+q'\) וממילא \(\frac{p}{q}\) ו-\(\frac{p'}{q'}\) הם איברים עוקבים ב-\(\MKclf_{n}\) לכל \(n\in\MKnatural\) המקיים \(\max\left\{ q,q'\right\} \leq n<q+q'\).
הוכחה. הוכחה2- אלגברה פשוטה יהי \(n\in\MKnatural\) כך ש-\(\max\left\{ q,q'\right\} \leq n<q+q'\). נניח ש-\(p'\cdot q-q'\cdot p=1\) ונניח בשלילה ש- \(\frac{p}{q}\) ו-\(\frac{p'}{q'}\) אינם מספרים עוקבים ב-\(\MKclf_{n}\), א"כ קיים \(\frac{a}{b}\in\MKrational\) )\(a,b\in\MKnatural\)( כך ש-\(\frac{p}{q}<\frac{a}{b}<\frac{p'}{q'}\) וגם \(b\leq n\). מהגדרה מתקיים:\[\begin{align*}
0 & <\frac{a}{b}-\frac{p}{q}=\frac{aq-bp}{bq}\\
0 & <\frac{p'}{q'}-\frac{a}{b}=\frac{p'b-q'a}{bq'}
\end{align*}\]ומכאן שגם:\[\begin{align*}
0 & <aq-bp\\
0 & <p'b-q'a
\end{align*}\]וממילא )מדובר במספרים טבעיים(:\[\begin{align*}
1 & \leq aq-bp\\
1 & \leq p'b-q'a
\end{align*}\]נשים לב לכך שמתקיים:\[\begin{align*}
\frac{1}{qq'} & =\frac{p'}{q'}-\frac{p}{q}=\left(\frac{p'}{q'}-\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}-\frac{p}{q}\right)\\
& =\frac{p'b-q'a}{bq'}+\frac{aq-bp}{bq}\\
& \geq\frac{1}{bq'}+\frac{1}{bq}=\frac{q+q'}{bqq'}
\end{align*}\]\[\begin{align*}
& \Rightarrow\frac{b}{bqq'}\geq\frac{q+q'}{bqq'}\\
& \Rightarrow b\geq q+q'
\end{align*}\]בסתירה לכך ש-\(b\leq n<q+q'\). מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה ואלו איברים עוקבים.
משפט 2.6. לכל \(\frac{p}{q},\frac{p'}{q'}\in\MKrational\) ו-\(N\in\MKnatural\) כך ש-\(\frac{p}{q}\) ו-\(\frac{p'}{q'}\) הם שברים מצומצמים המהווים איברים עוקבים ב-\(\MKclf_{N}\) )בפרט \(\max\left\{ q,q'\right\} \leq N\)(, מתקיימים שני הפסוקים הבאים:
\(p'\cdot q-q'\cdot p=1\).
ב-\(\MKclf_{q+q'}\) קיים איבר יחיד בין \(\frac{p}{q}\) ל-\(\frac{p'}{q'}\) והוא \(\frac{p+p'}{q+q'}\).
\(\clubsuit\)
הטענה הקודמת וסעיף2במשפט זה מאפשרים לבנות את סדרות פרי באופן אינדוקטיבי.
\(\clubsuit\)
ישנו שיפור קטן לטענה זו:
משפט. משפט הורוויץ10ערך בוויקיפדיה: אדולף הורוויץ. יהי \(\alpha\in\MKreal\), קיימת סדרת טבעיים עולה ממש \(\left(q_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) וסדרת שלמים \(\left(p_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) כך שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\left|x-\frac{p_{n}}{q_{n}}\right|<\frac{1}{\sqrt{5}\cdot\left(q_{n}\right)^{2}}
\]ובנוסף לא קיים \(\sqrt{5}<r\in\MKreal\) המקיים זאת, כלומר זהו הקירוב הטוב ביותר )עבור מספר כללי שלא ידוע עליו דבר(.
הוכחה. \(\:\) בסיס האינדוקציה עבור \(\MKclf_{1}\) האיברים היחידים בסדרה הם \(\frac{0}{1}\) ו-\(\frac{1}{1}\) ואלו אכן מקיימים ש-\(1\cdot1-1\cdot0=1\), כמו כן האיבר היחיד ב-\(\MKclf_{2}\) )\(2=1+1\)( שנמצא בין \(\frac{0}{1}\) ל-\(\frac{1}{1}\) הוא \(\frac{1}{2}=\frac{0+1}{1+1}\), א"כ שני סעיפי המשפט נכונים עבור \(\MKclf_{1}\). צעד האינדוקציה יהי \(N\in\MKnatural\) ונניח באינדוקציה ששני סעיפי המשפט מתקיימים עבור \(\MKclf_{N}\). יהיו \(\frac{a}{b},\frac{c}{d}\in\MKrational\) שברים מצומצמים המהווים איברים עוקבים ב-\(\MKclf_{N+1}\) )\(\frac{a}{b}<\frac{c}{d}\)( ונחלק למקרים:
נניח ש-\(\frac{a}{b}\) ו-\(\frac{c}{d}\) הם איברים עוקבים גם ב-\(\MKclf_{N}\), א"כ שני הסעיפים נובעים ישירות מהנחת האינדוקציה.
נניח ש-\(\frac{a}{b}\) ו-\(\frac{c}{d}\) אינם איברים עוקבים ב-\(\MKclf_{N}\) ויהיו \(\frac{p}{q},\frac{p'}{q'}\in\MKrational\) כך ש-\(\frac{p}{q}\) הוא האיבר הכי גדול ב-\(\MKclf_{N}\) שקטן או שווה ל-\(\frac{a}{b}\) ו-\(\frac{p'}{q'}\) הוא האיבר הכי קטן ב-\(\MKclf_{N}\) שגדול או שווה ל-\(\frac{c}{d}\). א"כ מתקיים:\[
\frac{p}{q}\leq\frac{a}{b}<\frac{c}{d}\leq\frac{p'}{q'}
\]נוכיח ש-\(\frac{p}{q}\) ו-\(\frac{p'}{q'}\) הם איברים עוקבים ב-\(\MKclf_{N}\): אם היה קיים איבר \(\frac{x}{y}\) ב-\(\MKclf_{N}\) כך ש-\(\frac{p}{q}<\frac{x}{y}<\frac{p'}{q'}\) אז מהגדרת \(\frac{p}{q}\) ו-\(\frac{p'}{q'}\) נובע ש-\(\frac{a}{b}<\frac{x}{y}<\frac{c}{d}\) בסתירה לכך ש-\(\frac{a}{b}\) ו-\(\frac{c}{d}\) הם איברים עוקבים ב-\(\MKclf_{N+1}\). מסעיף2בהנחת האינדוקציה נובע ש-\(N<q+q'\) ומטענה 2.3 נובע ש-\(q+q'\leq N+1\), א"כ \(N+1=q+q'\). בנוסף, מהשורה הקודמת ומסעיף2בהנחת האינדוקציה נובע שמתקיים אחד מהשניים:
\(\frac{a}{b}=\frac{p}{q}\) ו-\(\frac{c}{d}=\frac{p+p'}{q+q'}\), ובנוסף \(\frac{p}{q}\) ו-\(\frac{c}{d}\) הם איברים עוקבים ב-\(\MKclf_{N+1}\) וגם \(\frac{c}{d}\) ו-\(\frac{p'}{q'}\) הם איברים עוקבים ב-\(\MKclf_{N+1}\).
\(\frac{a}{b}=\frac{p+p'}{q+q'}\) ו-\(\frac{c}{d}=\frac{p'}{q'}\), ובנוסף \(\frac{p}{q}\) ו-\(\frac{a}{b}\) הם איברים עוקבים ב-\(\MKclf_{N+1}\) וגם \(\frac{a}{b}\) ו-\(\frac{p'}{q'}\) הם איברים עוקבים ב-\(\MKclf_{N+1}\).
הוכחה. ע"פ הסעיף הראשון בהנחת האינדוקציה מתקיים \({\color{red}p'\cdot q-q'\cdot p=1}\) ולכן גם:\[\begin{align*}
\left(p+p'\right)\cdot q-\left(q+q'\right)\cdot p & ={\color{blue}p\cdot q}{\color{red}+p'\cdot q}{\color{blue}-q\cdot p}{\color{red}-q'\cdot p}=1\\
p'\cdot\left(q+q'\right)-q'\cdot\left(p+p'\right) & ={\color{red}p'\cdot q}{\color{blue}+p'\cdot q'}{\color{red}-q'\cdot p}{\color{blue}-q'\cdot p'}=1
\end{align*}\]ומכאן שלא משנה איזה משני המקרים הנ"ל הוא הנכון, בכל מקרה מתקיים:\[
c\cdot b-d\cdot a=1
\]מכאן שהסעיף הראשוןבמשפט נכון גם עבור \(\frac{a}{b}\) ו-\(\frac{c}{d}\). בנוסף, בנוסף מלמה 2.2 נובע שלכל מספר רציונלי \(r\in\left(\frac{a}{b},\frac{c}{d}\right)\) קיימים \(u,v\in\MKnatural\) כך שההצגה המצומצמת של \(r\) היא:\[
\frac{v\cdot a+u\cdot c}{v\cdot b+u\cdot d}
\]מכאן שב-\(\MKclf_{b+d}\) קיים איבר יחיד בין \(\frac{a}{c}\) ל-\(\frac{b}{d}\) והוא:\[
\frac{1\cdot a+1\cdot c}{1\cdot b+1\cdot d}
\]משום שהצר"ל היחיד שמקיים \(v\cdot b+u\cdot d\leq b+d\) הוא זה שבו \(u=v=1\), א"כ גם הסעיף השני במשפט נכון עבור \(\frac{a}{b}\) ו-\(\frac{c}{d}\). \(\frac{a}{b}\) ו-\(\frac{c}{d}\) הנ"ל היו שרירותיים ומכאן שהמשפט נכון עבור \(\MKclf_{N+1}\).
מסקנה 2.7. לכל שני שברים מצומצמים \(\frac{p}{q},\frac{p'}{q'}\in\MKrational\) המהווים איברים עוקבים בסדרת פרי כלשהי )\(\frac{p}{q}<\frac{p'}{q'}\)( מתקיים:\[
\frac{p'}{q'}-\frac{p}{q}=\frac{p'\cdot q-q'\cdot p}{q\cdot q'}=\frac{1}{q\cdot q'}
\]
טענה 2.8. יהי \(x\in\MKreal\), קיימת סדרת טבעיים עולה ממש \(\left(q_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) וסדרת שלמים \(\left(p_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) כך שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\left|x-\frac{p_{n}}{q_{n}}\right|\leq\frac{1}{2\left(q_{n}\right)^{2}}
\]
הוכחה. יהיו \(\frac{p}{q},\frac{p'}{q'}\in\MKrational\) שני שברים מצומצמים המהווים איברים עוקבים בסדרת פרי כלשהי. לכל \(0<r\in\MKreal\) המקיים:\[
\left[\frac{p}{q},\frac{p}{q}+\frac{1}{r\cdot q^{2}}\right]\cap\left[\frac{p'}{q'}-\frac{1}{r\cdot q'^{2}},\frac{p'}{q'}\right]\neq\emptyset
\]מתקיים:\[
\frac{p}{q}+\frac{1}{r\cdot q^{2}}\geq\frac{p'}{q'}-\frac{1}{r\cdot q'^{2}}
\]\[\begin{align*}
& \Longleftrightarrow\frac{1}{r}\cdot\left(\frac{1}{q'^{2}}+\frac{1}{q^{2}}\right)\geq\frac{p'}{q'}-\frac{p}{q}=\frac{1}{q\cdot q'}\\
& \Longleftrightarrow\frac{q}{q'}+\frac{q'}{q}=q\cdot q'\cdot\left(\frac{1}{q'^{2}}+\frac{1}{q^{2}}\right)\geq r
\end{align*}\]נרצה למצוא את ה-\(r\) המינימלי המקיים זאת ולשם כך נגדיר את הפונקציה \(f:\left(0,\infty\right)\rightarrow\MKreal\) ע"י \(f\left(x\right):=x+\frac{1}{x}\) לכל \(0<x\in\MKreal\), מכאן שלכל \(0<x\in\MKreal\) מתקיים \(f'\left(x\right)=1-\frac{1}{x^{2}}\) וגם \(f''\left(x\right)=\frac{2}{x^{3}}\). א"כ ע"פ מה שלמדנו באינפי'1יש ל-\(f\) נקודת קיצון יחידה והיא \(x=1\) וזוהי נקודת מינימום, מהגדרה \(f\left(1\right)=2\) ולכן מתקיים:\[
\frac{q}{q'}+\frac{q'}{q}\geq2
\]וממילא ע"פ מה שראינו לעיל מתקיים גם:\[
\left[\frac{p}{q},\frac{p}{q}+\frac{1}{2q^{2}}\right]\cap\left[\frac{p'}{q'}-\frac{1}{2q'^{2}},\frac{p'}{q'}\right]\neq\emptyset
\]ולכן לכל \(x\in\left[\frac{p}{q},\frac{p'}{q'}\right]\) מתקיים \(\left|x-\frac{p}{q}\right|\leq\frac{1}{2q^{2}}\) ו/או \(\left|x-\frac{p'}{q'}\right|\leq\frac{1}{2q'^{2}}\). \(\frac{p}{q}\) ו-\(\frac{p'}{q'}\) היו שרירותיים ולכן הנ"ל מתקיים לכל שני איברים עוקבים בסדרת פרי כלשהי. נסמן \(a:=\left\lfloor x\right\rfloor \) ו-\(b:=x-\left\lfloor x\right\rfloor \), א"כ מהגדרה מתקיים \(x=a+b\), \(b\in\MKinteger\) ו-\(0\leq a<1\); מכאן שלכל \(n\in\MKnatural\) יש ב-\(\MKclf_{n}\) איבר המקיים את הנדרש עבור \(\left\lfloor \alpha\right\rfloor \), יתרה מזאת: מטענה 2.3 ומסעיף2במשפט 2.4 נובע שלכל \(n\in\MKnatural\) יש ב-\(\MKclf_{3n}\) איבר שלא מופיע ב-\(\MKclf_{n}\) ומקיים גם הוא את הנדרש עבור \(\left\lfloor \alpha\right\rfloor \)11המכנים המצומצמים של האיברים ב-\(\MKclf_{n}\) מוכרחים להיות קטנים או שווים ל-\(n\), מכאן שע"פ הטענה והמשפט הנ"ל שלכל שני איברים עוקבים ב-\(\MKclf_{n}\) יש בקטע הפתוח שביניהם יותר משני איברים שמופיעים ב-\(\MKclf_{3n}\) ואינם נמצאים ב-\(\MKclf_{n}\), ובין אלו יש שני איברים עוקבים )ב-\(\MKclf_{3n}\)( כך ש-\(\left\lfloor \alpha\right\rfloor \) שייך לקטע הסגור שביניהם.. המכנים המצומצמים של איברים המופיעים ב-\(\MKclf_{3n}\) ואינם ב-\(\MKclf_{n}\) גדולים ממש מ-\(n\) ולכן קיימת סדרת טבעיים עולה ממש \(\left(q_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) וסדרת טבעיים \(\left(p_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) כך שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\left|a-\frac{p_{n}}{q_{n}}\right|=\left|\left\lfloor x\right\rfloor -\frac{p_{n}}{q_{n}}\right|\leq\frac{1}{2\left(q_{n}\right)^{2}}
\]מכאן שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\left|x-\frac{p_{n}+b\cdot q_{n}}{q_{n}}\right|=\left|a+b-\frac{p_{n}+b\cdot q_{n}}{q_{n}}\right|=\left|a+b-b-\frac{p_{n}}{q_{n}}\right|\leq\frac{1}{2\left(q_{n}\right)^{2}}
\]ולכן אם נחליף את \(\left(p_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ב-\(\left(p_{n}+b\cdot q_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) נקבל את הסדרות המבוקשות.
\(\:\)
3 שברים משולבים
3.1 הגדרות
אינטואיציה:
יהי \(x\in\MKreal\) ונסמן \(r_{0}:=\left\lfloor x\right\rfloor \) ו-\(a_{0}:=x-r_{0}\), א"כ \(0\leq r_{0}<1\) וגם \(x=a_{0}+r_{0}\); אם נסמן \(x_{1}:=\frac{1}{r_{0}}>1\) נקבל:\[
x=a_{0}+r_{0}=a_{0}+\frac{1}{x_{1}}
\]כעת ניתן לחזור על התהליך ולסמן \(r_{1}:=\left\lfloor x_{1}\right\rfloor \), \(a_{1}:=x_{1}-r_{1}\) ו-\(x_{2}:=\frac{1}{r_{1}}\) ולקבל:\[
x=a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{x_{2}}}
\]וכך ניתן לחזור על התהליך כמה פעמים שנרצה:\[
x=a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{x_{3}}}}
\]\[
x=a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{\ldots a_{n-1}+\frac{1}{x_{n}}}}}
\]טוב, האמת היא שלא תמיד אפשר להמשיך את התהליך לנצח, אם היה \(i\) שעבורו \(r_{i}=0\) התהליך היה נעצר משום שאז לא היה ניתן להגדיר \(x_{i+1}:=\frac{1}{r_{i}}\); אנחנו נראה שכצפוי זה קורה אם"ם \(x\in\MKrational\).
\(\clubsuit\)
כלומר:\[
\frac{P_{0}}{Q_{0}}<\frac{P_{2}}{Q_{2}}<\frac{P_{4}}{Q_{4}}<\cdots<x<\cdots<\frac{P_{5}}{Q_{5}}<\frac{P_{3}}{Q_{3}}<\frac{P_{1}}{Q_{1}}
\]והשבר המשולב מתכנס אם האינפימום של קבוצת האיברים האי-זוגיים שווה לסופרמום של קבוצת האיברים הזוגיים.
\(\clubsuit\)
כלומר השבר המשולב שנבנה ע"י הפרדת החלק השלם מהחלק השברי נותן את קירוב מהסדר הגבוה ביותר שניתן לתת )עבור מספר כללי שלא ידוע עליו דבר(.
הגדרה 3.1. שבר משולב סופי שבר משולב סופי הוא ביטוי מהצורה:\[
a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{\ldots\frac{1}{a_{n}}}}}
\]כאשר \(0\leq a_{0}\in\MKreal\) ו-\(0<a_{i}\in\MKreal\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\). מכיוון שהביטוי הנ"ל אינו נוח לכתיבה מקובלים שני כתיבים נוספים עבור אותו ביטוי12יש המשתמשים בסוגריים מרובעים במקום המשולשים.:\[
\left\langle a_{0},a_{1},\ldots,a_{n}\right\rangle
\]\[
a_{0}+\frac{1}{a_{1}+}\frac{1}{a_{2}+}\frac{1}{a_{3}+}\ldots\frac{1}{a_{n-1}+}\frac{1}{a_{n}}
\]
הגדרה 3.2. שבר משולב אינסופי שבר משולב אינסופי הוא ביטוי מהצורה:\[
a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{a_{3}+\frac{1}{\cdots}}}}
\]כאשר \(0\leq a_{0}\in\MKreal\) ו-\(0<a_{i}\in\MKreal\) לכל \(i\in\MKnatural\) והכוונה היא לגבול13אם הוא קיים, אחרת מדובר בביטוי פורמלי בלבד. של הסדרה \(\left(b_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\) המוגדרת ע"י )לכל \(n\in\MKnatural\)(:\[
b_{0}:=\left\langle a_{0}\right\rangle ,\ b_{n}:=\left\langle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots,a_{n-1}+\frac{1}{a_{n}}\right\rangle
\]אם זו מתכנסת אומרים גם שהשבר המשולב מתכנס.
\(\:\)
טענה 3.3. יהי \(\alpha\in\MKreal\), קיים שבר משולב סופי השווה ל-\(\alpha\) אם"ם \(\alpha\) רציונלי.
יהי \(n\in\MKnatural\) ותהא \(\left(a_{k}\right)_{k=0}^{\infty}\) סדרה המקיימת \(0\leq a_{0}\in\MKreal\) ו-\(0<a_{k}\in\MKreal\) לכל \(k\in\MKnatural\), נגדיר שתי סדרות חדשות \(\left(P_{k}\right)_{k=-1}^{\infty}\) ו-\(\left(Q_{k}\right)_{k=-1}^{\infty}\) ע"י )לכל \(k\in\MKnatural\)(:\[\begin{align*}
& P_{-1}:=1 & & P_{0}:=a_{0} & & P_{k}:=P_{k-1}\cdot a_{k}+P_{k-2}\\
& Q_{-1}:=0 & & Q_{0}:=1 & & Q_{k}:=Q_{k-1}\cdot a_{k}+Q_{k-2}
\end{align*}\]
למה 3.4. לכל \(0<x\in\MKreal\) ולכל \(k\in\MKnatural_{0}\) מתקיים:\[
a_{0}+\frac{1}{a_{1}+}\frac{1}{a_{2}+}\frac{1}{a_{3}+}\ldots\frac{1}{a_{k-1}+}\frac{1}{a_{k}+\frac{1}{x}}=\frac{P_{k}\cdot x+P_{k-1}}{Q_{k}\cdot x+Q_{k-1}}
\]
מסקנה 3.7. אם \(\left(a_{k}\right)_{k=0}^{\infty}\) היא סדרה שכל איבריה שלמים אז \(\frac{P_{k}}{Q_{k}}\) היא הצגה מצומצמת של המספר הרציונלי המתאים )לכל \(k\in\MKnatural_{0}\)(.
טענה 3.8. לכל \(n-1>k\in\MKnatural_{0}\) מתקיים:
אם \(k\in\MKodd\) אז:\[
a_{0}+\frac{1}{a_{1}+}\frac{1}{a_{2}+}\frac{1}{a_{3}+}\ldots\frac{1}{a_{k-1}+}\frac{1}{a_{k}}={\color{blue}\frac{P_{k}}{Q_{k}}>\frac{P_{k+2}}{Q_{k+2}}}=a_{0}+\frac{1}{a_{1}+}\frac{1}{a_{2}+}\frac{1}{a_{3}+}\ldots\frac{1}{a_{k+1}+}\frac{1}{a_{k+2}}
\]
אם \(k\in\MKeven\) אז:\[
a_{0}+\frac{1}{a_{1}+}\frac{1}{a_{2}+}\frac{1}{a_{3}+}\ldots\frac{1}{a_{k-1}+}\frac{1}{a_{k}}={\color{blue}\frac{P_{k}}{Q_{k}}<\frac{P_{k+2}}{Q_{k+2}}}=a_{0}+\frac{1}{a_{1}+}\frac{1}{a_{2}+}\frac{1}{a_{3}+}\ldots\frac{1}{a_{k+1}+}\frac{1}{a_{k+2}}
\]
הוכחה. מטענה 3.4 נובע שמתקיים:\[\begin{align*}
\frac{P_{k+2}}{Q_{k+2}}-\frac{P_{k}}{Q_{k}} & =\left(\frac{P_{k+2}}{Q_{k+2}}-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}\right)+\left(\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}-\frac{P_{k}}{Q_{k}}\right)\\
& =\frac{P_{k+2}\cdot Q_{k+1}-Q_{k+2}\cdot P_{k+1}}{Q_{k+2}\cdot Q_{k+1}}+\frac{P_{k+1}\cdot Q_{k}-Q_{k+1}\cdot P_{k}}{Q_{k+1}\cdot Q_{k}}\\
& =\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{Q_{k+2}\cdot Q_{k+1}}+\frac{\left(-1\right)^{k}}{Q_{k+1}\cdot Q_{k}}=\left(-1\right)^{k}\cdot\frac{Q_{k+2}-Q_{k}}{Q_{k+2}\cdot Q_{k+1}\cdot Q_{k}}
\end{align*}\]מהגדרתה \(\left(Q_{k}\right)_{k=0}^{\infty}\) היא סדרת חיוביים עולה ממש ולכן ההפרש הנ"ל שלילי כאשר \(k\in\MKodd\) וחיובי כאשר \(k\in\MKeven\), ומכאן שאם \(k\in\MKodd\) אז \(\frac{P_{k}}{Q_{k}}>\frac{P_{k+2}}{Q_{k+2}}\) ואם \(k\in\MKeven\) אז \(\frac{P_{k}}{Q_{k}}<\frac{P_{k+2}}{Q_{k+2}}\).
טענה 3.9. לכל \(k\in\MKodd\) ולכל \(m\in\MKeven\) מתקיים:\[
a_{0}+\frac{1}{a_{1}+}\frac{1}{a_{2}+}\frac{1}{a_{3}+}\ldots\frac{1}{a_{m-1}+}\frac{1}{a_{m}}={\color{blue}\frac{P_{m}}{Q_{m}}<\frac{P_{k}}{Q_{k}}}=a_{0}+\frac{1}{a_{1}+}\frac{1}{a_{2}+}\frac{1}{a_{3}+}\ldots\frac{1}{a_{k-1}+}\frac{1}{a_{k}}
\]ואם השבר המשולב מתכנס למספר אי-רציונלי אז מתקיים גם )נסמן את הגבול ב-\(x\)(:\[
\frac{P_{m}}{Q_{m}}<x<\frac{P_{k}}{Q_{k}}
\]
הוכחה. נחלק למקרים:
אם \(k>m\) אז מטענה 3.4 נובע שמתקיים:\[
\frac{P_{k}}{Q_{k}}-\frac{P_{m}}{Q_{m}}=\sum_{i=m}^{k-1}\left(\frac{P_{i+1}}{Q_{i+1}}-\frac{P_{i}}{Q_{i}}\right)=\sum_{i=m}^{k-1}\frac{P_{i+1}\cdot Q_{i}-Q_{i+1}\cdot P_{i}}{Q_{i+1}\cdot Q_{i}}=\sum_{i=m}^{k-1}\frac{\left(-1\right)^{i}}{Q_{i+1}\cdot Q_{i}}
\]כעת מכיוון ש-\(\left(Q_{k}\right)_{k=1}^{\infty}\) היא סדרת חיוביים עולה ממש נדע שלכל \(i\in\MKeven\) כך ש-\(m\leq i\leq k-3\) מתקיים \(\frac{1}{Q_{i+1}\cdot Q_{i}}>\frac{1}{Q_{i+2}\cdot Q_{i+1}}\) ומכאן שגם:\[
\frac{\left(-1\right)^{i}}{Q_{i+1}\cdot Q_{i}}+\frac{\left(-1\right)^{i+1}}{Q_{i+2}\cdot Q_{i+1}}>0
\]וממילא גם:\[
\frac{P_{k}}{Q_{k}}-\frac{P_{m}}{Q_{m}}=\sum_{i=m}^{k-1}\frac{\left(-1\right)^{i}}{Q_{i+1}\cdot Q_{i}}>\sum_{i=m}^{k-2}\frac{\left(-1\right)^{i}}{Q_{i+1}\cdot Q_{i}}>0
\]
אם \(m>k\) אז מנימוקים דומים נובע שמתקיים:\[\begin{align*}
\frac{P_{m}}{Q_{m}}-\frac{P_{k}}{Q_{k}} & =\sum_{i=k}^{m-1}\left(\frac{P_{i+1}}{Q_{i+1}}-\frac{P_{i}}{Q_{i}}\right)=\sum_{i=k}^{m-1}\frac{P_{i+1}\cdot Q_{i}-Q_{i+1}\cdot P_{i}}{Q_{i+1}\cdot Q_{i}}\\
& =\sum_{i=k}^{m-1}\frac{\left(-1\right)^{i}}{Q_{i+1}\cdot Q_{i}}<\sum_{i=k}^{m-2}\frac{\left(-1\right)^{i}}{Q_{i+1}\cdot Q_{i}}<0
\end{align*}\]
טענה 3.10. לכל \(k\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\left|\frac{P_{k}}{Q_{k}}-\frac{P_{k-1}}{Q_{k-1}}\right|=\frac{1}{Q_{k-1}\cdot Q_{k}}
\]
הוכחה. נובע ישירות מטענה 3.4, לכל \(k\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\left|\frac{P_{k}}{Q_{k}}-\frac{P_{k-1}}{Q_{k-1}}\right|=\left|\frac{P_{k}\cdot Q_{k-1}-Q_{k}\cdot P_{k-1}}{Q_{k}\cdot Q_{k-1}}\right|=\left|\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{Q_{k}\cdot Q_{k-1}}\right|=\frac{1}{Q_{k-1}\cdot Q_{k}}
\]
מסקנה 3.11. אם השבר המשולב מתכנס למספר אי-רציונלי אז לכל \(k\in\MKnatural\) מתקיים גם )נסמן את הגבול ב-\(x\)(:\[
\left|x-\frac{P_{k}}{Q_{k}}\right|<\frac{1}{Q_{k}\cdot Q_{k+1}}<\frac{1}{\left(Q_{k}\right)^{2}}
\]
\(\:\)
4 משוואות פל )Pell(
4.1 הגדרות
\(\clubsuit\)
הסיבה היחידה לכך שפרק זה מופיע בקבצים העוסקים בקירובים דיופנטיים היא שההוכחה ללמה4.5)ראו בקובצי הטענות וההוכחות( משתמשת בטענה שלמספר ממשי יש אינסוף קירובים שונים מסדר שני )ראו טענה2.6בקובצי הטענות וההוכחות(.
\(\clubsuit\)
כלומר משוואת פל שואלת אם קיים איבר בחוג \(R:=\left\{ x+\sqrt{D}y\mid x,y\in\MKinteger\right\} \) כך ש-\(N\) הוא הנורמה של אותו איבר.
\(\clubsuit\)
קיימות משוואות פל שאין להן פתרון, כך למשל למשוואה \(x^{2}-3y^{2}=2\) אין פתרון מודולו \(3\) ולכן אין לה גם פתרון בשלמים.
\(\clubsuit\)
מסקנה זו היא הסיבה העיקרית לעניין במשוואות פל.
\(\clubsuit\)
הסיבה היחידה לכך שפרק זה מופיע בקבצים העוסקים בקירובים דיופנטיים היא שההוכחה ללמה 4.5 )להלן( משתמשת בטענה שלמספר ממשי יש אינסוף קירובים שונים מסדר שני )טענה 2.6(.
\(\clubsuit\)
כלומר אם למשוואות פל \(x^{2}-Dy^{2}=N_{1}\) ו-\(x^{2}-Dy^{2}=N_{2}\) יש פתרון אז גם למשוואה \(x^{2}-Dy^{2}=N_{1}\cdot N_{2}\) יש פתרון.
\(\clubsuit\)
בגלל ש-\(x\) ו-\(y\) מופיעים במשוואה כשהם מועלים בחזקת \(2\) ניתן להניח שקיים פתרון לא טריוויאלי שבו \(x\) ו-\(y\) חיוביים14לא ייתכן שאחד מהם הוא \(0\) מפני שהפתרון לא טריוויאלי )כלומר \(y\neq0\)( ו-\(-Dy^{2}<0<1\) )כלומר \(x\neq0\)(. ומבין כל הפתרונות הללו קיים פתרון שעבורו הביטוי \(x+\sqrt{D}y\) מקבל ערך מינימלי, לפתרון הזה נקרא הפתרון היסודי משום שכפי שנראה בטענה הבאה כל הפתרונות האחרים מתקבלים ממנו בצורה פשוטה.
\(\clubsuit\)
הסימנים של \(n\) ו-\(b\) זהים וזאת משום שמתקיים:\[
\left(x+\sqrt{D}\cdot y\right)^{-1}=\frac{1}{x+\sqrt{D}\cdot y}=\frac{x-\sqrt{D}\cdot y}{x^{2}-D\cdot y^{2}}=\frac{x-\sqrt{D}\cdot y}{1}=x-\sqrt{D}\cdot y
\]
\(\clubsuit\)
א"כ כל הפתרונות מתחלקים לארבע קבוצות:
אלו שעבורם \(1<a+\sqrt{D}\cdot b\) - מתקבלים ע"י חזקה חיובית של \(x+\sqrt{D}y\) ומקיימים \(0<a,b\).
אלו שעבורם \(0<a+\sqrt{D}\cdot b<1\) - מתקבלים ע"י חזקה חיובית של \(x+\sqrt{D}y\) ומקיימים \(b<0<a\).
אלו שעבורם \(-1<a+\sqrt{D}\cdot b<0\) - מתקבלים ע"י לקיחת הנגדיים של הפתרונות בסעיף2ולפיכך מקיימים \(a<0<b\).
אלו שעבורם \(a+\sqrt{D}\cdot b<-1\) - מתקבלים ע"י לקיחת הנגדיים של הפתרונות בסעיף1ולפיכך מקיימים \(a,b<0\).
למה 4.1. \(R\) הוא חוג ו-\(F\) הוא שדה )עם פעולות החיבור והכפל המושרות מ-\(\MKreal\)(.
הגדרה 4.2. נגדיר את הנורמה ב-\(R\) וב-\(F\) ע"י \(N\left(a+\sqrt{n}b\right):=\left(a+\sqrt{n}b\right)\left(a-\sqrt{n}b\right)\) לכל \(a+\sqrt{n}b\) ב-\(R\) ו/או ב-\(F\).
הגדרה 4.3. משוואותפל15ערך בוויקיפדיה: ג'ון פל. הן משוואות דיופנטיות מהצורה \(x^{2}-Dy^{2}=N\) כאשר \(D\in\MKnatural\) אינו ריבוע ו-\(0\neq N\in\MKinteger\).
\(\Rightarrow\) נניח ש-\(a^{2}-D\cdot b^{2}=\pm1\), א"כ מתקיים:\[\begin{align*}
1=\left(a^{2}-D\cdot b^{2}\right)^{2} & =\left(a+\sqrt{D}\cdot b\right)\cdot\left[\left(a-\sqrt{D}\cdot b\right)\cdot\left(a^{2}-D\cdot b^{2}\right)\right]\\
& =\left(a+\sqrt{D}\cdot b\right)\cdot\left[a\cdot\left(a^{2}-D\cdot b^{2}\right)-\sqrt{D}\cdot b\cdot\left(a^{2}-D\cdot b^{2}\right)\right]
\end{align*}\]כלומר מצאנו את ההופכי של \(a+\sqrt{D}\cdot b\) ב-\(F\) והוא אכן איבר ב-\(R\).
מסקנה 4.6. יהיו \(0\neq N_{1},N_{2}\in\MKinteger\) ונניח שקיימים \(a,b,c,d\in\MKinteger\) כך ש-\(a^{2}-Db^{2}=N_{1}\) ו-\(c^{2}-Dd^{2}=N_{2}\), מתקיים גם:\[\begin{align*}
N_{1}\cdot N_{2} & =N\left(a+\sqrt{D}b\right)\cdot N\left(c+\sqrt{D}d\right)\\
& =N\left(\left[ac+Dbd\right]+\sqrt{D}\cdot\left[bc+ad\right]\right)\\
& =\left(\left[ac+Dbd\right]+\sqrt{D}\cdot\left[bc+ad\right]\right)\left(\left[ac+Dbd\right]-\sqrt{D}\cdot\left[bc+ad\right]\right)\\
& =\left(ac+Dbd\right)^{2}-D\left(bc+ad\right)^{2}
\end{align*}\]
מסקנה 4.7. אם למשוואת פל \(x^{2}-D\cdot y^{2}=1\) יש פתרון אחד אז יש לה אינסוף פתרונות.
למה 4.8. קיים \(0\neq N\in\MKinteger\) כך שלמשוואת פל \(x^{2}-Dy^{2}=N\) קיימים אינסוף פתרונות.
הוכחה. ראינו בטענה 2.6 שקיימים אינסוף זוגות \(\left(x,y\right)\in\MKnatural^{2}\) כך שמתקיים:\[
\left|\sqrt{D}-\frac{x}{y}\right|<\frac{1}{y^{2}}
\]לכל זוג כזה מתקיים:\[
\left|x-\sqrt{D}\cdot y\right|=\left|\sqrt{D}\cdot y-x\right|<\frac{1}{y}
\]ומא"ש המשולש נובע שמתקיים גם:\[
\left|x+\sqrt{D}\cdot y\right|=\left|x-\sqrt{D}\cdot y\right|+\left|2\cdot\sqrt{D}\cdot y\right|<\frac{1}{y}+2\cdot\sqrt{D}\cdot y
\]וממילא גם:\[
\left|x^{2}-D\cdot y^{2}\right|=\left|x-\sqrt{D}\cdot y\right|\cdot\left|x+\sqrt{D}\cdot y\right|<\frac{1}{y^{2}}+2\cdot\sqrt{D}<1+2\cdot\sqrt{D}
\]א"כ קיימים אינסוף זוגות \(\left(x,y\right)\in\MKnatural^{2}\) המקיימים:\[
-1-2\cdot\sqrt{D}<x^{2}-D\cdot y^{2}<1+2\cdot\sqrt{D}
\]נשים לב לכך שלכל זוג כזה מתקיים \(x^{2}-D\cdot y^{2}\in\MKinteger\) ולכן מהעובדה שבקטע \(\left(-1-2\cdot\sqrt{D},1+2\cdot\sqrt{D}\right)\) יש מספר סופי של שלמים נובע שקיים \(N\in\MKinteger\) שעבורו יש למשוואת פל \(x^{2}-D\cdot y^{2}=N\) אינסוף פתרונות שונים, אותו \(N\) אינו יכול להיות \(0\) מפני ש-\(D\) אינו ריבוע ולכן מקיים את הנדרש.
טענה 4.9. למשוואת פל \(x^{2}-Dy^{2}=1\) יש פתרון לא טריוויאלי )כלומר לא מתקיים \(x=\pm1\) ו-\(y=0\)(.
הוכחה. יהי \(0\neq N\in\MKinteger\) כך שלמשוואת פל \(x^{2}-Dy^{2}=N\) קיימים אינסוף פתרונות ויהיו \(\left(a,b\right),\left(c,d\right)\in\MKnatural^{2}\) שני פתרונות שונים של משוואה זו כך ש-\(a\equiv c\mod N\)16אם \(N<0\) אז הכוונה היא לשקילות מודולו \(-N\). ו-\(b\equiv d\mod N\) )מהעובדה ש-\(\left(\MKinteger/N\MKinteger\right)^{2}\) סופית ואילו \(\MKnatural^{2}\) אינה סופית נובע שאכן קיימים שני פתרונות כאלו(.\[\begin{align*}
\Rightarrow\frac{a-\sqrt{D}\cdot b}{c-\sqrt{D}\cdot d} & =\frac{\left(a-\sqrt{D}\cdot b\right)\left(c+\sqrt{D}\cdot d\right)}{\left(c-\sqrt{D}\cdot d\right)\left(c+\sqrt{D}\cdot d\right)}=\frac{\left(ac-D\cdot bd\right)+\sqrt{D}\cdot\left(ad-bc\right)}{c^{2}-D\cdot d^{2}}\\
& =\frac{\left(ac-D\cdot bd\right)+\sqrt{D}\cdot\left(ad-bc\right)}{N}
\end{align*}\]מהגדרה מתקיים \(ac-D\cdot bd\equiv a^{2}-D\cdot b^{2}\equiv N\equiv0\mod N\) וגם \(ad-bc\equiv a\cdot b-b\cdot a\equiv0\mod N\) ומכאן שקיימים \(s,t\in\MKinteger\) כך שמתקיים:\[
\frac{a-\sqrt{D}\cdot b}{c-\sqrt{D}\cdot d}=\frac{N\cdot s+\sqrt{D}\cdot N\cdot t}{N}=s+\sqrt{D}\cdot t
\]וממילא גם:\[
1=\frac{N}{N}=\frac{N\left(a-\sqrt{D}\cdot b\right)}{N\left(c-\sqrt{D}\cdot d\right)}=N\left(s+\sqrt{D}\cdot t\right)=s^{2}-D\cdot t^{2}
\]א"כ קיים פתרון למשוואת פל \(x^{2}-Dy^{2}=1\) ולכן ע"פ מסקנה 4.4 יש לה אינסוף פתרונות ובפרט אחד מהם אינו טריוויאלי.
משפט 4.10. יהיו \(x,y\in\MKnatural\) כך ש-\(\left(x,y\right)\) הוא הפתרון היסודי17כפי שאמרנו לעיל הכוונה היא שלכל \(a,b\in\MKnatural\) המקיימים \(a^{2}-Db^{2}=1\) מתקיים \(x+\sqrt{D}y\leq a+\sqrt{D}b\)., לכל פתרון לא טריוויאלי \(\left(a,b\right)\in\MKnatural\times\MKinteger\) קיים \(0\neq n\in\MKinteger\) כך שמתקיים:\[
a+\sqrt{D}\cdot b=\left(x+\sqrt{D}\cdot y\right)^{n}
\]וכמו כן לכל \(\left(a,b\right)\in\MKnatural\times\MKinteger\), אם קיים \(0\neq n\in\MKinteger\) כך שמתקיים \(a+\sqrt{D}\cdot b=\left(x+\sqrt{D}\cdot y\right)^{n}\) אז \(\left(a,b\right)\) הוא פתרון.
הוכחה. נסמן \(\alpha:=x+\sqrt{D}\cdot y\) ויהי \(\left(a,b\right)\in\MKnatural\times\MKinteger\) כך ש-\(b\neq0\).
נניח ש-\(\left(a,b\right)\)הוא פתרון ויהי \(k\in\MKnatural\) כך שמתקיים:\[
\alpha^{k}\leq a+\sqrt{D}\cdot\left|b\right|\leq\alpha^{k+1}
\]\[
\Rightarrow1\leq\frac{a+\sqrt{D}\cdot\left|b\right|}{\alpha^{k}}\leq\alpha
\]אבל:\[
N\left(\frac{a+\sqrt{D}\cdot\left|b\right|}{\alpha^{k}}\right)=\frac{N\left(a+\sqrt{D}\cdot\left|b\right|\right)}{N\left(\alpha^{k}\right)}=\frac{a^{2}-D\cdot b^{2}}{N^{k}\left(\alpha\right)}=1
\]ומכאן ש-\(\left(a+\sqrt{D}\cdot\left|b\right|\right)\cdot\alpha^{-k}\) גם הוא פתרון ולכן מהמינימליות של \(\alpha\) נובע שמתקיים:\[
\frac{a+\sqrt{D}\cdot\left|b\right|}{\alpha^{k}}=\alpha
\]\[
\Rightarrow a+\sqrt{D}\cdot\left|b\right|=\alpha^{k+1}
\]אם \(b>0\) אז סיימנו, אחרת נשים לב לכך שמתקיים:\[\begin{align*}
a+\sqrt{D}\cdot b & =\frac{a-\sqrt{D}\cdot\left|b\right|}{1}=\frac{a-\sqrt{D}\cdot\left|b\right|}{a^{2}-D\cdot b^{2}}\\
& =\frac{a-\sqrt{D}\cdot\left|b\right|}{\left(a-\sqrt{D}\cdot\left|b\right|\right)\left(a+\sqrt{D}\cdot\left|b\right|\right)}\\
& =\left(a+\sqrt{D}\cdot\left|b\right|\right)^{-1}=\alpha^{-k-1}
\end{align*}\]
נניח שקיים \(0\neq n\in\MKinteger\) כך שמתקיים \(a+\sqrt{D}\cdot b=\left(x+\sqrt{D}\cdot y\right)^{n}=\alpha^{n}\).\[
\Rightarrow a^{2}-D\cdot b^{2}=N\left(a+\sqrt{D}\cdot b\right)=N\left(\alpha^{n}\right)=N^{n}\left(\alpha\right)=1^{n}=1
\]ומכאן שזהו אכן פתרון.
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים? אתם מוזמנים לתת טיפ.פורמטים נוספים:
#scrollButton {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקהדף הביתתרומהאודותהקדשהמפת אתרהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerHTML = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );